§1: Introduction: Considérons les exemples suivants: En utilisant les calculatrices de nos
ordinateurs ou de nos téléphones, nous obtenons:
1°) ln( 125 ) = 4,828314. Ce qui nous donne: 2,71,
= 123,171914. Et, 125 – 123,171914 =
= 1,828086.
En supposant que la calculatrice de l’ordinateur ou du téléphone a pris 2,72 comme base du
logarithme, nous aurons 2,72,
= 125,38198. Ce qui nous donne 125 – 125, 38198 =
-0,38198.
2°) Aussi, par les ordinateurs ou les téléphones, nous avons ln (678645639,897830) = 20,335609;
et, 2,71 ,
= 637814235,663079.
Ce qui nous donne 678645639,897830 – 637814235,663079 = 40 831 404,234751.
Et, en prenant 2,72 comme base du logarithme, nous aurons 2,72 ,
= 687421824,262845.
Ce qui nous donne 678645639,897830 – 687421824,262845 − 687421824,262845 =
= − , ! .
3°) De même les calculatrices nous donnent « # (5678456321,78906 ) = 22,459945.
Ce qui nous donne: 2,71 , = 5302326415,362899.
D’où nous obtenons 5678456321,78906 − 5302326415,36289 = %& &!, %.
Et, en prenant 2,72 comme base du logarithme, nous aurons 2,72 , = 5759618040,038651.
Ce qui nous donne: 5678456321,78906 − 5759618040,038651 = − , %&&
Nous voyons dans chacun de ces cas, qu’avec ces calculatrices, le logarithme obtenu est loin de celui
des nombres considérés.
Alors, nous avons trouvé un algorithme que nous avons écrit dans le langage C, et nous avons
obtenu les résultats suivants:
1°) Donner le nombre A dont vous calculez le logarithme:125
Donner la base B de calcul du logarithme:2.71
2.71
Reponse:
Le logarithme de 125.000000 a la base 2.710000 est: 4, 843091
——————————–
Process exited after 10.05 seconds with return value 0
Appuyez sur une touche pour continuer…
Ce qui nous donne 2,71,
= 124,99990. Ce qui nous donne 125 – 124,99990 = 0,0001
Et, en prenant 2,72 comme base du logarithme, nous aurons:
Donner le nombre A dont vous calculez
le logarithme:125
Donner la base B de calcul du logarithme:2.72
2.72
Reponse:
Le logarithme de 125.000000 a la base 2.720000 est: 4.825264
——————————–
Process exited after 15.69 seconds with return value 0
Appuyez sur une touche pour continuer…
Ce qui nous donne 2,72, = 124,999906.
2°) Donner le nombre A dont vous calculez le logarithme:678645639.897830
Donner la base B de calcul du logarithme:2.71
2.71
Reponse:
Le logarithme de 678645639, 897830 a la base 2.710000 est: 20,397850
——————————–
Process exited after 9.889 seconds with return value 0
Appuyez sur une touche pour continuer…Appuyez sur une touche pour continuer…
Ce qui nous donne 2,71 ,
‘ = 678644993,967305.
D’où nous obtenons: 678645639.897830 – 678644993,967305 = , &! % .
Et, en prenant 2,72 comme base du logarithme, nous aurons:
Donner le nombre A dont vous calculez
le logarithme:678645639.897830
Donner la base B de calcul du logarithme:2.72
2.72
Reponse:
Le logarithme de 678645639.897830 a la base 2.720000 est: 20.322768
——————————–
Process exited after 15.14 seconds with return value 0
Appuyez sur une touche pour continuer…
Ce qui nous donne: 2,72 ,
‘ = 678645567,20372.
D’où nous obtenons: 678645639, 897830−678645567,20372 = %, &.
3°) Donner le nombre A dont vous calculer le logarithme:5678456321.789060
Donner la base B de calcul du logarithme: 2.71
2.71
Reponse:
Le logarithme de 5678456321.789060 a la base 2.710000 est: 22, 528688.
——————————–
Process exited after 26.94 seconds with return value 0
Appuyez sur une touche pour continuer…
Ce qui nous donne 2,71 , = 5678464742, 872392.
D’où nous obtenons: 5678456321.789060 – 5678453420,608332 = 2 901,180728.
En prenant la base 2,72 pour le calcul du logarithme, nous aurons:
Donner le nombre A dont vous calculez
le logarithme:5678456321.789060
Donner la base B de calcul du logarithme:2.72
2.72
Reponse:
Le logarithme de 5678456321.789060 a la base 2.720000 est: 22,445762
——————————–
Process exited after 83.94 seconds with return value 0
Appuyez sur une touche pour continuer…
Ce qui nous donne: 2,72 ,’ = 5678455053,190968.
D’où nous obtenons: 5678456321,789060 -5678455053,190968 = %, &!&%.
4°) Donner le nombre A dont vous calculer
le logarithme:5678456321.78906
Donner la base B de calcul du logarithme:10
10
Reponse:
Le logarithme de 5678456321.789060 a la base 10.000000 est: 9.754230
——————————–
Process exited after 76.11 seconds with return value 0
Appuyez sur une touche pour continuer…
5°) Et, les calculatrices de nos téléphones et de nos ordinateurs nous donnent:
log(5678456321,789060 ) = 9,754230.
Donc, notre logiciel et celui de nos ordinateurs de nos téléphones, donnent le même résultat pour
le calcul du logarithme à la base 10.
Tandis que pour, pour le logarithme népérien, mon logiciel donne le résultat le plus proche du
logarithme cherché.
Il est ainsi évident que l’algorithme que nous proposons améliore le calcul du logarithme.
Présentons maintenant d’autres résultats.
——————————–
Process exited after 25.72 seconds with return value 0
Appuyez sur une touche pour continuer…
Ce qui nous donne: 2,71,
= 124,999903
2°) Donner le nombre A dont vous calculer
le logarithme:78654.67890
Donner la base B de calcul du logarithme:2.71
2.71
Reponse:
Le logarithme de 78654.678900 a la base 2.710000 est: 11.307325
——————————–
Process exited after 30.07 seconds with return value 0
Appuyez sur une touche pour continuer…
Ce qui nous donne: 2,71
,
‘
= 78654,665226. Et, 78654,6789 -78654,665226 = 0,0137.
Alors que, d’après la calculatrice de l’ordinateur nous avons ln678654,6789 = 13,42786.
D’où nous obtenons: 2,71
, ‘ = 651404,9016.
Ce qui nous donne 678654,6789 – 651404,9016 = % %&, .
Nous voyons que ‘ le logarithme de 78654.678900 à la base 2.71 est: 11.307325’ donné par notre
logiciel est la meilleure approximation du logarithme cherché.
Calculons maintenant le logarithme de 0, 678456332. Les calculatrices de nos ordinateurs et de nos
téléphones donnent: ln ( 0, 678456332 ) = – 0,3879351.
3°) Donner le nombre A dont vous calculer
le logarithme: 0.678456332
Donner la base B de calcul du logarithme:2.71
2.71
Reponse:
Le logarithme de 0.678456 a la base 2.710000 est: – 0.389123
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Process exited after 34.46 seconds with return value 0
Appuyez sur une touche pour continuer…
Et, on a: 2,71(,
= 0,678456004807
Donner le nombre A dont vous calculer
le logarithme:56897421359.365143
Donner la base B de calcul du logarithme:2.71
2,71 .
= 56897380418,611462. Ce qui nous 56897421359,365143 –
− 56897380418,611462 = 40 940,753681.
——————————–
Process exited after 67.75 seconds with return value 0
Appuyez sur une touche pour continuer…
Alors, nous obtenons
Donner le nombre A dont vous calculer
le logarithme:56897421359.365143
Donner la base B de calcul du logarithme:2.71
2.71
Reponse:
Le logarithme de 56897421359.365143 a la base 2.710000 est: 24.840312
——————————–
Process exited after 14.25 seconds with return value 0
Appuyez sur une touche pour continuer…
Ce qui nous donne 2,71 ,
= 56897380418,611462 ; et, nous obtenons
56897421359,365143 – 56897380418,611462 = 40 940,753681.
Signalons que nous avons pu améliorer manuellement ce résultat. Ce qui nous a donné:
ln (56897421359,365143 ) = 24,840312299999999999999999999.
Ce qui nous donne 2,71 ,
. = 56897397435,743728.
Et, 56897421359,365143 − 56897397435,743728 = 23 923,621415.
Tandis qu’en utilisant la calculatrice de notre ordinateur, nous aurons:
ln(56897421359,365143 ) = 24,764516; et, 2,71 ,’
= 52756373146,690314. Ce qui nous
donne 56897421359,365143 − 52756373146,690314 = 4 141 048 212,674829.
4°) Donner le nombre A dont vous calculer le logarithme:9860931.894532
Donner la base B de calcul du logarithme: 10
10
Reponse:628529 620438564 56897421359,365143
Le logarithme de 9860931.894532 a la base 10.000000 est: 6.993917
——————————–
Process exited after 9.71 seconds with return value 0
Appuyez sur une touche pour continuer…
Ce qui nous donne: 10,
‘ = 9860910,112693. D’où nous obtenons:
9860931,894532 – 9860910,112693= 21,781839.
Et, la calculatrice de notre ordinateur nous donne :
log( 9860931,894532) = 6,993918. Alors, nous obtenons: 10,
= 9860932,818303.
Ce qui nous donne: 9860931,894532 – 9860932,818303 = – 0,923771.
Donc, pour la base 10, nous avons obtenu presque le même résultat, car, la différence est arrivée à
la sixième décimale après la virgule.
Une autre remarque:
5°) Donner le nombre A dont vous calculer
le logarithme:6784569.34562
Donner la base B de calcul du logarithme:2.71
2.71
Reponse:
Le logarithme de 6784569,345620 a la base 2.710000 est: 15.778306
——————————–
Process exited after 23.11 seconds with return value 0
Appuyez sur une touche pour continuer…
Ce qui nous donne 2,71
, »
= 6784564,256534.
D’où nous obtenons 6784569,345620 – 6784564,256534 = 5,089086.
Utilisant ces résultats, nous avons obtenu « #(125) = 4, 84309177857216897433616.
Ce qui nous donne: 2,71,
»’
‘
= 124,99999999999999999999988739498.
En fin, notre algorithme nous donne « #(56789056,907986) =
= 17, 909502636499999999999999999999.
Ce qui nous donne:
2,71
‘,
= 56789056,907246692955339158510707.
D’où nous obtenons56789056,907986 − 56789056,907247 = 0,000739.
Alors qu’avec la calculatrice de nos ordinateurs ou de nos téléphones, nous avons:
« #(56789056,907986 ) = 17,854854.
Ce qui nous donne: 2,71
‘, = 53777854,902927.
Et, 56789056,907986 − 53777854,902927 = ! %!%, !! ! &.
Ce qui montre que notre algorithme donne le meilleur logarithme népérien d’un nombre.
Tandis que, pour le logarithme décimal, nous avons obtenu à peu près les mêmes résultats.
Bibliographie.
Par Dr. Souleymane DIALLO M. C. enseignant de l’Université guinéenne
( Guinée – Conakry ) à la retraite.
Contacts: 00224 664881588, 00224 622745399.
E – mail: sapbergsdiallo@gmail.com